Longitud de arco
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matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
En Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
[editar] Deducción de la fórmula para funciones de una variable
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a , de manera que para cada uno existirá un cateto asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas aquellas hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;
Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que tienda a cero. Así, se convierte en , y cada cociente incremental se transforma en un general, que es por definición . Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;
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