Teorema del valor medio
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En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consinte que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
y 
son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
en el intervalo ![[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sGUzf_r4mx5KGCZuLDMEoQwrEM4MLRuPW0SNMLWQgtCjdqC47XoscQOOkCSSDPxc3UBytZPXmHfXs31NFz5XxPeuSl9jodkDNYfjGS6oGaoJbrv3Siny5IPxAoXbkghHwj6Sjwztxhgz43fYPIO2CEqisQoWmbxjS9weo=s0-d)
, existe un valor 
en dicho intervalo, tal que[1]
es continua en , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún ![V\in[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v92I2MbnjvKjlN7JNwiOLaj-hdBbM0gGOXoFxE825-55FCSHP6OH3b5RxdmLyttP9g6DZNFProS2VvxKt4MAY-PcrIhro8FUY7UrUkkiX2esFpe-dvi6XwKIyAx947987l38YV6E1uJfclIbnPNA6-tLWjfQYBHjFa5g=s0-d)
, que llamaremos 
y también un valor mínimo en el mismo intervalo: 
, para algún ![v\in[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQ_jS6VtzARm8YUAv0SAHZqszgtRckUts1UXnUdOJ5g5DLv26lbRzXIZZPiG-krHDtKXPtivk6hIdJJlVwEtNJvUnJX4kGDWqh1Uwis8YOEpOjB0vDBdE34FmDboVKHTgHc8JhBTG93bw_v1cn2TlufoJrCfVnJhyOtjs=s0-d)
. Es decir ![f(V)\geq f(x),\forall x\in[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzdUAIOATl2wdMOa2esEImnV6pYtjvZiMYmqtO6Agxx08pjPej89apf0IC_EOks7L8-WeeM4pqisXonx-c0YVnBw9W0J_RljCN8d6VAbG-EHFK0qLYExV_YAC9syTQs7h3YyOPHy800itgWEf_TsZHkjtzUoG9TV2otA=s0-d)
y ![f(v)\leq f(x),\forall x\in[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7QZOrn_7dAxczUXXVGoaGhMuMIQgp9YPBkywow4xFTncKqHKXBKR3ZAy2BQ5oAxWv7AjMVcYmj8IKIB1e-_HEwmjn19cQ2zBTuaI7TzVWUT7hgAPeq6Gyl3AHXLe-oDzlN70UkFiUyD8Mqnz91wHE8pI-4kg8q9E9cHY=s0-d)
. Si consideramos las áreas de los rectángulos con base 
y altura 
ó 
tendremos la siguiente desigualdad:
![\xi\in[a,b]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tX9w5g6IIGRQlDIGE3zH9X7h2ubRaUpKdMmI20UEpAq9u85ugAJmspOSs-p0_DhK_X9bNXRfkQRxeJpc4vii7RyAq1NBlWeHODiwZnQJunZgswx4aH5AJz3Y5OSOXNjZAOaGIxPa71YSZ7hhJH4nkgsZ0D_I9KDjdUo64=s0-d)
para el cual la función alcanza el valor de la integral 
, es decir:
, pero resulta que 
coincide con el valor medio (promedio) de la función en el intervalo .
un conjunto abierto y convexo y 
una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:[2]
. En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:
Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
Donde los pares de puntos
y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
![g(x)= f(x) - y = f(x) - [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbqMX-F1FrgYwVwmZS9dOZHfvLGGRfevE3qPPvJSP3UqNJ4AQqIXKkTtVy_npUn9hoHWBUlJ_hqMhcLcD2gyYwHYkXPVST_DAkMuaHFmVkgv7va6StIHhmazIrx7f_NdPlrQjX4gtJlOaax-GUvkuKcSyYoX355pAH9TU=s0-d)
Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:
y así
como queríamos demostrar.
[editar] Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua en el intervalo , existe un valor en dicho intervalo, tal que[1]Demostración Dado que la función
es continua en , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún . Es decir y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos la siguiente desigualdad:Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún
para el cual la función alcanza el valor de la integral , es decir:El teorema no especifíca como determinar
![\exists \xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uweuci34V_3rr1Lfdl3_NXUefgY2u47E5lew7EKCD7Rdfyv9FxQVZ1GihVmOUi_cmIH2_ATzgLmVIZtK9iG46leUa9rl-Y-lWgN_a5IQPbpgZuWcdEbPgRtZC27fB4j3SI8dei-3G9s83Gy3Jsod7r3SdKwhk4ZPBY4oQ=s0-d)
, pero resulta que coincide con el valor medio (promedio) de la función en el intervalo .[editar] Enunciado para varias variables
Sea un conjunto abierto y convexo y una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:[2]Donde:
, es la aplicación lineal que representa el 
[editar] Generalizaciones
No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones. En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:
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