Teorema del valor medio

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En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consinte que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f ' (c) \qquad$

Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

$y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Donde los pares de puntos $(a,f(a))\;$ y $(b,f(b))\;$ son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

$g(x)= f(x) - y = f(x) - [f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]$

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

$g(a) = g(b) \qquad \Rightarrow \qquad f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)$

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

$0 = g ' (c) = f ' (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$

y así

$f ' (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

como queríamos demostrar.

[editar] Forma integral del Teorema del valor medio

Para una función continua $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , existe un valor $\xi$ en dicho intervalo, tal que^[1]

$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b -a)$

Demostración Dado que la función $f$ es continua en $[a,b]$ , posee un valor máximo en dicho intervalo para algún $V\in[a,b]$ , que llamaremos $M=f(V)$ y también un valor mínimo en el mismo intervalo: $m=f(v)$ , para algún $v\in[a,b]$ . Es decir $f(V)\geq f(x),\forall x\in[a,b]$ y $f(v)\leq f(x),\forall x\in[a,b]$ . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base $b-a$ y altura $M$ ó $m$ tendremos la siguiente desigualdad:

$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

Lo que implica:

$m\leq\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M$

De donde se deduce que debe existir algún $\xi\in[a,b]$ para el cual la función $f$ alcanza el valor de la integral $\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)$ , es decir:

$\exists \xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int_{a}^{b}f(x)dx$

El teorema no especifíca como determinar $\xi$ , pero resulta que $f(\xi)$ coincide con el valor medio (promedio) de la función $f$ en el intervalo $[a,b]$ .

[editar] Enunciado para varias variables

Sea $A\subset\mathbb{R}^n$ un conjunto abierto y convexo y $f:A \longrightarrow \mathbb{R}$ una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:^[2]

$f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a}) = Df(\mathbf{c})(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

Donde:

$Df(\mathbf{c})$ , es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).

$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \theta(\mathbf{b}-\mathbf{a})$

$0 \le \theta \le 1\;$

[editar] Generalizaciones

No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones $\mathbf{f}:A \longrightarrow \mathbb{R}^n$ . En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:

$\|\mathbf{f}(\mathbf{b})-\mathbf{f}(\mathbf{a}) \| \le \|\left(D\mathbf{f}(\mathbf{c})\right) (\mathbf{b}-\mathbf{a})\| \le \|D\mathbf{f}(\mathbf{c})\|\|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\|$

costalitos

viernes, 1 de junio de 2012

Teorema del valor medio

[editar] Forma integral del Teorema del valor medio

[editar] Enunciado para varias variables

[editar] Generalizaciones

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